Description :
Le cours d’analyse d’une école d’ingénieurs est le socle conceptuel sur lequel reposent les autres enseignements mathématiques, constituant ensemble le cadre naturel de la modélisation des enseignements scientifiques. Bien qu’inspiré par le profil et les besoins en mathématiques du futur ingénieur, ce livre convient à une introduction à l’analyse, destinée aux étudiants de licence et de maîtrise des filières mathématiques. J’ai donc choisi d’exposer un cours d’analyse allégé des concepts et des résultats à faible plus-value pratique, qui nécessitent souvent un investissement lourd tant pour l’enseignant que pour l’élève. Tel est le cas, par exemple, des concepts de mesure complexe ou de topologie définie par des familles de semi-normes, qui ne seront pas abordés ici.
Adepte d’une pédagogie constructive et autant que possible motivante, essayant d’éviter la pesante et souvent inefficace linéarité de l’exposé déductif, qui n’est pas praticable dans les limites horaires d’un tel cours, j’ai semé le parcours du néophyte de nombreux exercices et problèmes corrigés, d’appels à l’intuition géométrique, d’applications à la physique, d’analogies et de remarques qui devraient en faciliter la lente digestion. Seuls sont démontrés les théorèmes importants, à condition toutefois que leurs preuves ne soient ni trop techniques, ni trop longues ; en revanche, certaines démonstrations, abordables dans le cadre de ce cours et mettant en oeuvre une idée ou une méthode originale, sont proposées comme exercices, afin d’en faciliter la compréhension et l’assimilation.
Six chapitres composent cet ouvrage : les quatre premiers sont dédiés à l’analyse fonctionnelle et harmonique, les deux autres exposent la théorie des fonctions holomorphes. Le premier chapitre est un exposé de la théorie ensembliste de la mesure et de l’intégration, qui se conclut par la présentation des concepts-outils fondamentaux pour la modélisation des systèmes linéaires, que sont le produit de convolution et la transformation de Laplace. Après de nécessaires rappels de topologie-métrique, suivis d’un exposé rapide des bases de la théorie des espaces vectoriels normés, le deuxième chapitre présente de façon suffisamment détaillée la théorie des espaces hilbertiens et ses applications à l’approximation fonctionnelle dans les espaces L2.
Le chapitre trois concerne l’analyse et la synthèse harmonique des fonctions réelles en séries et transformées de Fourier.
Le chapitre quatre est une introduction à la théorie des distributions, motivée et illustrée par la théorie du signal.
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