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| Analyse mathématique Grands théorèmes du vingtième siècle |
Description :
Ce livre a une histoire: il est né de la rencontre de deux professeurs de mathématiques de générations différentes, l'un d'université, l'autre en classes préparatoires, à l'occasion d'un séminaire de mathématiques organisé par le plus jeune d'entre eux au lycée Clemenceau de Nantes, pendant la première moitié des années 2000. Ce séminaire avait pour objectif premier de perlnettre aux professeurs de cet établissement de conserver une certaine « ouverture mathématique» que le rythme soutenu de la préparation des concours ne facilite pas nécessairement, sous la forme de conférences à peu près mensuelles d'une heure et demie environ. Au fil des années, les professeurs ont été rejoints par un nombre croissant d'élèves de leurs classes; des vocations de mathématiciens sont nées parmi ces derniers, peut-être en partie grâce à cette initiative. Chacun des deux auteurs a effectué une
demi-douzaine d'exposés dans ce séminaire, sur des thèmes de son choix, avec en l'occurrence une forte coloration d'analyse classique (mais pas exclusivement) .
Après la nomination à Lyon de l'un d'entre nous, il nous a semblé qu'il pourrait être intéressant de rassembler et rédiger plus en détail ces exposés, et de donner des fils conducteurs à l'ensemble. Le point de départ nous semble être l'article de 1911 de Littlewood (chapitre 1), qui est à la fois l'acte fondateur des théorèmes appelés aujourd'hui taubériens, et de la fameuse collaboration Hardy-Littlewood qui s'étendit sur 35 années, jusqu'à la mort de Hardy en 1947. Cette collaboration a produit un grand nombre de découvertes remarquables, dont la moindre n'est pas celle de Ramanujan! Quelques-unes d'entre elles sont exposées en détail ici, outre la réciproque du théorème radial d'Abel (chapitre 1) : l'équation fonctionnelle (approchée ou non) de la fonction (Jo de Jacobi et ses applications - via l'approximation diophantienne et les fractions continuées - aux sommes d'exponentielles et à l'étude fine de « l'autre» fonction de Riemann (chapitres VII et VIII). D'importants prolongements de ces travaux sont le théorème taubérien de Wiener (chapitre II) et ses descendants, les théorèmes taubériens de Ikehara et Newman (chapitre III), qui annoncent les algèbres de Banach et la théorie de Gelfand (chapitre X), cette dernière suggérant le problèlne de la couronne qui fut brillamment résolu par Carleson en 1962 (chapitre XI).
Un autre prolongement de l'étude des sommes de carrés du chapitre VIII est la « conjecture de Littlewood » sur la norme LI des sommes d'exponentielles, qui n'a été résolue qu'en 1981 (chapitre IX). Une bonne moitié du livre rend ainsi un grand hommage à l'école anglaise d'analyse de la première moitié du vingtième siècle et, en passant, aux écoles suédoise et américaine.
Un second fil conducteur part des travaux de l'école polonaise des années 1930, en particulier ceux de Stefan Banach. Les espaces qui portent aujourd'hui son nom ont été l'objet d'innombrables travaux; une de leurs propriétés spécifiques, la cOlnplémentation, est exposée au chapitre XII.
Cette école polonaise prisait beaucoup l'école française, en particulier les travaux de Baire et de Lebesgue; ceux-ci sont bien présents dans cet ouvrage, au travers de l'étude des propriétés génériques des fonctions dérivées (chapitre IV), des propriétés génériques au sens des probabilités (chapitre V, qui fait aussi la part belle aux travaux de l'école russe, avec Kolmogorov et Khintchine), ou des propriétés paradoxales en théorie de la mesure (chapitre VI sur le paradoxe de Banach- Tarski). Tous ces travaux sont profonds et difficiles, mais il méritent d'être mieux connus et vulgarisés dans la communauté mathématique, à la fois d'un point de vue historique et d'un point de vue scientifique. Telle a été notre ambition.
Disons quelques mots sur le style du livre : nous n'avons pas cherché à écrire un ouvrage pour spécialistes pointus, et n'avons donc pas eu honte de faire beaucoup de rappels et de donner beaucoup de détails et d'explications heuristiques, et de placer les choses dans une perspective historique.
Nous n'avons pas non plus cherché à écrire un ouvrage pour « généralistes pointus», et n'avons donc pas eu honte de donner des preuves conlplètes et rigoureuses, même quand certaines étaient fort difficiles. Il en résulte, en fonction des thèmes traités, un ouvrage de niveau inégal: certaines parties sont du niveau M2, certaines autres du niveau L3, le niveau moyen de ce travail semblant se situer entre les deux. Nous avons cru bon de prolonger chaque chapitre par une dizaine d'exercices, qui arrivent en complélnent du texte principal ou incitent le lecteur à prolonger sa réflexion. Ces exercices ne sont pas corrigés en détail, mais nous espérons avoir donné suffisamment de références ou d'indications pour qu'un lecteur raisonnablement courageux et intéressé en vienne à bout.
Nous espérons que ce livre rendra des services à un public assez large, ne serait-ce que ponctuellement : nous pensons à nos collègues professeurs de classes préparatoires ou universitaires, ainsi qu'aux étudiants préparant le Master ou à tous les amateurs, au sens que Jean-Pierre Kahane donne à ce mot, des Inathénlatiques et de la beauté.
En écrivant cet ouvrage, nous avons également souhaité offrir aux agrégatifs de nouvelles sources d'inspiration. Pour avoir tous deux participé au jury de l'agrégation externe de mathématiques, nous avons eu maintes fois l'occasion de constater que les leçons présentées par les candidats, souvent construites à partir d'un petit nombre d'ouvrages de référence, presque toujours en langue française et « adaptés au concours», avaient de plus en plus tendance à se standardiser. Sans dénigrer systématiquement ces ouvrages, nous avons voulu contribuer à élargir l'horizon scientifique de ces futurs professeurs en leur proposant des mathématiques non sorties de leur contexte. Nous sommes persuadés que ce n'est que dans ce cadre que les grandes idées Inathématiques peuvent apparaître dans toute leur force et de façon naturelle.
Notre reconnaissance va à notre ami Rached Mneimné, dont l'enthousiasme, la largeur de vues et l'efficacité ont permis à ce livre atypique de paraître, et à Gilles Godefroy, qui a eu la gentillesse de nous écrire une jolie préface. Nous remercions vivement nos collègues et anciens étudiants qui ont accepté de relire en détail certains chapitres et de nous faire profiter de remarques précises et constructives : Frédéric Bayart, Nicolas Bonnotte, Rémi Catellier, Vincent Clapiès, Jean-François Deldon, Quentin Dufour, Jordane Granier, Jérémy Guéré, Denis Jourdan, Xavier Lamy, Stéphane Malek, Tholnas Ortiz, Michel Staïner, Carl Tipler. Des remerciements particuliers doivent être adressés à Bruno Calado et Michaël Monerau. Le premier a lu en un temps record l'intégralité du manuscrit, débusqué un nombre incalculable de coquilles, et proposé de nombreuses améliorations
intéressantes : sans lui, cet ouvrage ne serait pas aussi bien fini qu'il a l'anlbition de l'être. Le second a réalisé une vingtaine de dessins magnifiques qui aident grandement à la lecture et à la compréhension d'un texte parfois technique. Cela a été une chance pour nous qu'ils mettent leurs compétences à notre disposition.
Table des matières
I. Le théorème taubérien de Littlewood
II. Le théorème taubérien de Wiener
III. Le théorème taubérien de Newman
IV. Propriétés génériques des fonctions dérivées
V. Probabilités et théorèmes d'existence
VI. Les paradoxes de Hausdorff-Banach-Tarski
VII. L'autre fonction de Riemann
VIII. L'équation fonctionnelle approchée de theta zero
IX. La conjecture de Littlewood
X. Généralités sur les algèbres de Banach
XI. Le théorème de la couronne de Carleson
XII. Le problème de la complémentation.
XIII. Indications de solutions
demi-douzaine d'exposés dans ce séminaire, sur des thèmes de son choix, avec en l'occurrence une forte coloration d'analyse classique (mais pas exclusivement) .
Après la nomination à Lyon de l'un d'entre nous, il nous a semblé qu'il pourrait être intéressant de rassembler et rédiger plus en détail ces exposés, et de donner des fils conducteurs à l'ensemble. Le point de départ nous semble être l'article de 1911 de Littlewood (chapitre 1), qui est à la fois l'acte fondateur des théorèmes appelés aujourd'hui taubériens, et de la fameuse collaboration Hardy-Littlewood qui s'étendit sur 35 années, jusqu'à la mort de Hardy en 1947. Cette collaboration a produit un grand nombre de découvertes remarquables, dont la moindre n'est pas celle de Ramanujan! Quelques-unes d'entre elles sont exposées en détail ici, outre la réciproque du théorème radial d'Abel (chapitre 1) : l'équation fonctionnelle (approchée ou non) de la fonction (Jo de Jacobi et ses applications - via l'approximation diophantienne et les fractions continuées - aux sommes d'exponentielles et à l'étude fine de « l'autre» fonction de Riemann (chapitres VII et VIII). D'importants prolongements de ces travaux sont le théorème taubérien de Wiener (chapitre II) et ses descendants, les théorèmes taubériens de Ikehara et Newman (chapitre III), qui annoncent les algèbres de Banach et la théorie de Gelfand (chapitre X), cette dernière suggérant le problèlne de la couronne qui fut brillamment résolu par Carleson en 1962 (chapitre XI).
Un autre prolongement de l'étude des sommes de carrés du chapitre VIII est la « conjecture de Littlewood » sur la norme LI des sommes d'exponentielles, qui n'a été résolue qu'en 1981 (chapitre IX). Une bonne moitié du livre rend ainsi un grand hommage à l'école anglaise d'analyse de la première moitié du vingtième siècle et, en passant, aux écoles suédoise et américaine.
Un second fil conducteur part des travaux de l'école polonaise des années 1930, en particulier ceux de Stefan Banach. Les espaces qui portent aujourd'hui son nom ont été l'objet d'innombrables travaux; une de leurs propriétés spécifiques, la cOlnplémentation, est exposée au chapitre XII.
Cette école polonaise prisait beaucoup l'école française, en particulier les travaux de Baire et de Lebesgue; ceux-ci sont bien présents dans cet ouvrage, au travers de l'étude des propriétés génériques des fonctions dérivées (chapitre IV), des propriétés génériques au sens des probabilités (chapitre V, qui fait aussi la part belle aux travaux de l'école russe, avec Kolmogorov et Khintchine), ou des propriétés paradoxales en théorie de la mesure (chapitre VI sur le paradoxe de Banach- Tarski). Tous ces travaux sont profonds et difficiles, mais il méritent d'être mieux connus et vulgarisés dans la communauté mathématique, à la fois d'un point de vue historique et d'un point de vue scientifique. Telle a été notre ambition.
Disons quelques mots sur le style du livre : nous n'avons pas cherché à écrire un ouvrage pour spécialistes pointus, et n'avons donc pas eu honte de faire beaucoup de rappels et de donner beaucoup de détails et d'explications heuristiques, et de placer les choses dans une perspective historique.
Nous n'avons pas non plus cherché à écrire un ouvrage pour « généralistes pointus», et n'avons donc pas eu honte de donner des preuves conlplètes et rigoureuses, même quand certaines étaient fort difficiles. Il en résulte, en fonction des thèmes traités, un ouvrage de niveau inégal: certaines parties sont du niveau M2, certaines autres du niveau L3, le niveau moyen de ce travail semblant se situer entre les deux. Nous avons cru bon de prolonger chaque chapitre par une dizaine d'exercices, qui arrivent en complélnent du texte principal ou incitent le lecteur à prolonger sa réflexion. Ces exercices ne sont pas corrigés en détail, mais nous espérons avoir donné suffisamment de références ou d'indications pour qu'un lecteur raisonnablement courageux et intéressé en vienne à bout.
Nous espérons que ce livre rendra des services à un public assez large, ne serait-ce que ponctuellement : nous pensons à nos collègues professeurs de classes préparatoires ou universitaires, ainsi qu'aux étudiants préparant le Master ou à tous les amateurs, au sens que Jean-Pierre Kahane donne à ce mot, des Inathénlatiques et de la beauté.
En écrivant cet ouvrage, nous avons également souhaité offrir aux agrégatifs de nouvelles sources d'inspiration. Pour avoir tous deux participé au jury de l'agrégation externe de mathématiques, nous avons eu maintes fois l'occasion de constater que les leçons présentées par les candidats, souvent construites à partir d'un petit nombre d'ouvrages de référence, presque toujours en langue française et « adaptés au concours», avaient de plus en plus tendance à se standardiser. Sans dénigrer systématiquement ces ouvrages, nous avons voulu contribuer à élargir l'horizon scientifique de ces futurs professeurs en leur proposant des mathématiques non sorties de leur contexte. Nous sommes persuadés que ce n'est que dans ce cadre que les grandes idées Inathématiques peuvent apparaître dans toute leur force et de façon naturelle.
Notre reconnaissance va à notre ami Rached Mneimné, dont l'enthousiasme, la largeur de vues et l'efficacité ont permis à ce livre atypique de paraître, et à Gilles Godefroy, qui a eu la gentillesse de nous écrire une jolie préface. Nous remercions vivement nos collègues et anciens étudiants qui ont accepté de relire en détail certains chapitres et de nous faire profiter de remarques précises et constructives : Frédéric Bayart, Nicolas Bonnotte, Rémi Catellier, Vincent Clapiès, Jean-François Deldon, Quentin Dufour, Jordane Granier, Jérémy Guéré, Denis Jourdan, Xavier Lamy, Stéphane Malek, Tholnas Ortiz, Michel Staïner, Carl Tipler. Des remerciements particuliers doivent être adressés à Bruno Calado et Michaël Monerau. Le premier a lu en un temps record l'intégralité du manuscrit, débusqué un nombre incalculable de coquilles, et proposé de nombreuses améliorations
intéressantes : sans lui, cet ouvrage ne serait pas aussi bien fini qu'il a l'anlbition de l'être. Le second a réalisé une vingtaine de dessins magnifiques qui aident grandement à la lecture et à la compréhension d'un texte parfois technique. Cela a été une chance pour nous qu'ils mettent leurs compétences à notre disposition.
Table des matières
I. Le théorème taubérien de Littlewood II. Le théorème taubérien de Wiener
III. Le théorème taubérien de Newman
IV. Propriétés génériques des fonctions dérivées
V. Probabilités et théorèmes d'existence
VI. Les paradoxes de Hausdorff-Banach-Tarski
VII. L'autre fonction de Riemann
VIII. L'équation fonctionnelle approchée de theta zero
IX. La conjecture de Littlewood
X. Généralités sur les algèbres de Banach
XI. Le théorème de la couronne de Carleson
XII. Le problème de la complémentation.
XIII. Indications de solutions
