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| Équations différentielles : de fonctions de variable réelle ou complexe : 2e cycle universitaire, agrégations |
Description :
Le noyau central autour duquel a été composé cet ouvrage est la partie consacrée aux équations différentielles des cours que j ’ai donnés pendant quelques années aux agrégatifs de la Préparation à l’Agrégation de Mathématiques (concours interne) à l’Université de Paris VI. Des circonstances imprévues m’ont obligé, à partir d’Octobre 1998, à ne communiquer avec les étudiants que par écrit, d’où une première rédaction polycopiée par l’Université en Mars 1999. L’essentiel de ce noyau central se retrouve, avec quelques développements et approfondissements, dans les paragraphes 1 à 8 de ce livre. La philosophie générale qui l’a inspiré est de limiter au maximum la théorie (on n’y aborde même pas la dépendance des solutions par rapport à des paramètres) et de montrer, par des
exemples nombreux, riches et variés, l’efficacité des outils de base introduits.
Le paragraphe 9, nouveau, est consacré aux équations différentielles de fonctions de variable complexe. La théorie des équations linéaires résolues en la dérivée de la fonction inconnue est traitée à fond dans le cas où elles sont définies sur un ouvert simplement connexe: on récupère alors l’essentiel de la théorie classique des équations différentielles linéaires ordinaires, notamment l’existence et l’unicité de solutions globales définies par une condition initiale, et la variation des constantes. L’outil qui permet de bâtir cette remarquable théorie est évidemment le phénomène de monodromie. Nous avons donné une version topologique suffisamment générale du principe de monodromie, mais qui n’oblige pas le lecteur à se plonger préalablement dans l’étude aride d’une théorie abstraite des faisceaux et des espaces étalés. Au contraire, la lecture du présent exposé, qui est récompensée par l’obtention de ces puissants résultats sur les équations linéaires, peut être une excellente motivation à une étude générale approfondie des faisceaux et espaces étalés abstraits. En outre, le théorème de monodromie que nous établissons suffirait à traiter d’autres questions de globalisation importantes, par exemple fonctions algébriques de variable complexe ou certaines questions de fonctions implicites transcendantes.
L’ouvrage se termine par un bref aperçu de la théorie des systèmes différentiels analytiques de variable complexe résolus en les dérivées des fonctions inconnues: le seul but de cet aperçu est de faire voir pourquoi il n’y a en général pas existence de solutions globales comme dans le cas linéaire.
Malgré la sorte d’ostracisme qui semble, pour l’heure, frapper les sciences mathématiques, et qui nous fait régresser du noble “ je pense donc je suis ” de Descartes et du chevaleresque “ honneur de l’esprit humain ” de Jacobi à l’hypocrisie des procès en sorcellerie, j ’espère que cet ouvrage contribuera, si peu que ce soit, à aider ceux que les vents mauvais du moment ne décourageront pas de se consacrer à ces sciences, discipline qui nécessite, plus que toute autre, la symbiose entre enseignement et recherche. Je tiens à remercier ici les professeurs Pierre Delezoide et Jean-Denis Eiden qui ont bien voulu relire ce texte et y ont apporté d’inestimables suggestions et contributions.
Cours d'équations différentielles destinés aux agrégatifs, introduisant le principe de monodromie et illustré d'exemples variés ,est voici le sommaire de ce livre :
exemples nombreux, riches et variés, l’efficacité des outils de base introduits.
Le paragraphe 9, nouveau, est consacré aux équations différentielles de fonctions de variable complexe. La théorie des équations linéaires résolues en la dérivée de la fonction inconnue est traitée à fond dans le cas où elles sont définies sur un ouvert simplement connexe: on récupère alors l’essentiel de la théorie classique des équations différentielles linéaires ordinaires, notamment l’existence et l’unicité de solutions globales définies par une condition initiale, et la variation des constantes. L’outil qui permet de bâtir cette remarquable théorie est évidemment le phénomène de monodromie. Nous avons donné une version topologique suffisamment générale du principe de monodromie, mais qui n’oblige pas le lecteur à se plonger préalablement dans l’étude aride d’une théorie abstraite des faisceaux et des espaces étalés. Au contraire, la lecture du présent exposé, qui est récompensée par l’obtention de ces puissants résultats sur les équations linéaires, peut être une excellente motivation à une étude générale approfondie des faisceaux et espaces étalés abstraits. En outre, le théorème de monodromie que nous établissons suffirait à traiter d’autres questions de globalisation importantes, par exemple fonctions algébriques de variable complexe ou certaines questions de fonctions implicites transcendantes.
L’ouvrage se termine par un bref aperçu de la théorie des systèmes différentiels analytiques de variable complexe résolus en les dérivées des fonctions inconnues: le seul but de cet aperçu est de faire voir pourquoi il n’y a en général pas existence de solutions globales comme dans le cas linéaire.
Malgré la sorte d’ostracisme qui semble, pour l’heure, frapper les sciences mathématiques, et qui nous fait régresser du noble “ je pense donc je suis ” de Descartes et du chevaleresque “ honneur de l’esprit humain ” de Jacobi à l’hypocrisie des procès en sorcellerie, j ’espère que cet ouvrage contribuera, si peu que ce soit, à aider ceux que les vents mauvais du moment ne décourageront pas de se consacrer à ces sciences, discipline qui nécessite, plus que toute autre, la symbiose entre enseignement et recherche. Je tiens à remercier ici les professeurs Pierre Delezoide et Jean-Denis Eiden qui ont bien voulu relire ce texte et y ont apporté d’inestimables suggestions et contributions.
Cours d'équations différentielles destinés aux agrégatifs, introduisant le principe de monodromie et illustré d'exemples variés ,est voici le sommaire de ce livre :
SOMMAIRE
- Équations linéaires scalaires du premier ordre ;
- Équations linéaires à inconnue vectorielle ;
- Équations linéaires scalaires d'ordre ≥2 ;
- Équations linéaires à coefficients constants ;
- Théorème de Cauchy-Lipschitz sans paramètres ;
- Étude théorique de l'équation de Newton
- Application au pendule simple ;
- Pendule simple et théorème de Poncelet ;
- Équations différentielles avec variable complexe.
